There are many poskim who didn't allow us to transgress an איסור דרבנן [for example - permitting a חלוצה to a Kohen when they threaten to convert if they are not allowed to marry] to save from a greater איסור but that isn't relevant in our case where permitting this bird is against a minhag and not an actual איסור.
The Gemara in Bava Kamma [69a] says as follows:
אמר רבן שמעון בן גמליאל בד"א בשביעית דהפקר נינהו
The Gemara resumes the citation from the mishna. Rabban Shimon ben Gamliel said: In what case is this statement, that vineyards of the fourth year and of orla require demarcation, said? During the Sabbatical Year. The Gemara explains: The reason is that all fruit that grows during that year may be taken by anyone (see Leviticus 25:5–6), as in that year all fruit is considered to be ownerless property.
אבל בשאר שני שבוע הלעיטהו לרשע וימות
The mishna continues: But during the other years of the Sabbatical cycle,when anyone who takes the grapes of another is guilty of theft, there is no requirement to demarcate these vineyards. This is in accordance with the adage: Feed it to the wicked man and let him die. That is, one is not required to take precautions to protect the wicked from the consequences of their own sins. Here too, there is no obligation to warn a thief that the grapes he is stealing are prohibited.
So maybe here also we should say "הלעיטהו לרשע וימות" and let the guy shecht this bird with an invalid knife and make it a נבילה? There is a difference. There the person wants to steal, which is a more serious infraction. So we say "הלעיטהו לרשע וימות" and don't try to protect him. But here where it is a question of minhag we don't say "הלעיטהו".
In a case of a hotel that would serve milchig deserts after a fleishig meal and wanted a hechsher, Rav Ovadiah permitted the rabbinate to give them a hechsher because otherwise they would serve treif meat. Here also, we must try to minimize the איסורים involved. The Tzitz Eliezer argued, but Rav Ovadiah stuck to his guns.
The Gemara [Sotah 48b] says that is is אסור for men to sing before the women sing but worse if they follow the women. The Gemara says that the practical difference is to know which one to prefer if we can't completely eradicate the situation where women sing in the presence of men. So we see that we aim to eliminate greater sins even if that means giving a stamp of approval to smaller ones.
ולא דמי למאי דקי"ל כרשב"ג (בב"ק סט) דאמר הלעיטהו לרשע וימות, וכן פסק הרמב"ם (בפ"ט מה' מע"ש ה"ז), דשאני התם שעובר על איסור חמור של גזל, ואין לנו לעשות טצדקי להצילו מאיסור ערלה, משא"כ באיסור קל כבנ"ד. שפיר עבדינן תקנתא לבל יכשל בחמורות. וע' בשו"ת צור יעקב (סי' י). ע"ש. ועמש"כ בשו"ת יביע אומר (ח"ד סי' ז), אודות בית מלון שמגיש לאורחיו הרוצים בכך כוס חלב או גלידה חלבית לאחר ארוחה בשרית, שאם לא יאבה לשמוע למחאת הרבנות המקומית להמנע מכך, אין לרבנות לשלול ממנו ההשגחה ותעודת הכשרות, ולא אמרינן בכה"ג הלעיטהו לרשע וימות. וכל שאין בידינו למחות ולתקן הכל, יש לתקן מה שאפשר למעט באיסורים, שלא יעברו על איסורי תורה בנבלות וטרפות. והבאתי כעין ראיה מההיא דסוטה (מח:) הנ"ל, זמרי גברי ועני נשי פריצותא, זמרי נשי ועני גברי כאש בנעורת, למאי נ"מ לבטולי הא מקמי הא. והארכתי עוד בזה.
The Netziv discusses a married woman who wasn't going to mikva at all [and was עוברת איסורי כרת every time she was with her husband] but finally agreed to go on the 8th day [because she was embarrassed to go at night when she was supposed to go]. The Netziv cites a number of proof to be lenient on her and to allow her to immerse at the halachically incorrect time.
He quotes the Gemara which says that if a person is overcome by his yetzer hara, he should go to a place where nobody knows him, wear black and do as his heart desires and this way G-d's name won't be desecrated. There is a מחלוקת ראשונים whether we actually tell him to do the עבירה [Rashi and Tosfos] or that we just hope that by going away and wearing black, his passions will be cooled and he won't sin [Ran]. The simple meaning of the Gemara is that we tell him to sin. This shows that we permit a smaller sin to prevent a greater one. Along the same lines, the Sefer Chasidim says that in a case where someone is either going to sin with a married woman or his wife when she is a niddah or he will masturbate, we instruct him to do the latter to save from the more severe sin of forbidden relations.
וציינתי לדברי הגאון הנצי"ב בשו"ת משיב דבר (חיו"ד סי' מג - מד), ותוכן הדברים שם, שהרה"ג השואל העלה להתיר לאשה שלא הסכינה ללכת למקוה, וחיתה עם בעלה באיסור, וכעת עבר עליה רוח טהרה, אלא שמתבייש' לטבול עם נשים אחרות, ורק אם יותר לה לטבול ביום השמיני לספירתה תקבל עליה דיני טהרת המשפחה. וכתב להביא כמה ראיות להקל בזה, ובכללם ההיא דסוטה (מח:), ולכן אשה כזאת שיצרה אלבשה לעבור זמן רב בקום ועשה על איסור כרת היא ובעלה, אין לך שעה"ד גדול מזה, ולכן בודאי שיש להתיר לה לטבול ביום שמיני להצילם מאיסור כרת. והגאון הנצי"ב בתשובתו שם כתב, דלכאורה באנו למחלוקת הראשונים בהא דא"ר אילעא הזקן (חגיגה טז) אם רואה אדם שיצרו מתגבר עליו ילבש שחורים וילך למקום שאין מכירין אותו ויעשה מה שלבו חפץ ולא יחלל שם שמים בפרהסיא, וכ' התוס', משמע שמותר לו לגמרי לעשות חפצו, ולא כמו שפי' הר"ח (בקידושין מ) שח"ו שהיה מתיר לעשות עבירה, אלא שע"י לבישת שחורים ואכסנאות יכנע לבבו ולא יבא לידי עבירה, שאז ודאי אין יצרו מתגבר עליו, ויוכל לעשות מה שלבו חפץ. וסוגיא דשמעתין לא משמע כדבריו כאן ובמ"ק (יז) ע"כ. ורש"י במ"ק (יז) בשם רב האי גאון כ' כד' הר"ח. ולפ"ד הר"ח ורה"ג מבואר דלא שרינן למעבד איסור קל כדי שלא יבא לאיסור חמור. ומ"ש החלקת מחוקק והבית שמואל אה"ע (ר"ס כג) בשם ס' חסידים (סי' קעו), מעשה באחד ששאל במי שיצרו מתגבר עליו וירא פן יבא לשכב עם א"א או עם אשתו נדה וכיו"ב אם יכול להוציא זרעו לבטלה כדי שלא יחטא, והשיב לו שאם א"א מוטב שיוציא שכבת זרע ואל יחטא באשה נדה. אבל צריך כפרה ע"ז. ע"ש. נראה שזהו כפי' רש"י ותוס', ולא כהר"ח ורה"ג. אולם יש לדחות דבשלמא אם היה איסור קל שלא מצד חשש להכשלת אחרים שפיר י"ל שמוטב לעבור על איסור קל ולא יבא לאיסור חמור, אבל טבילה ביום השמיני דחיישינן לסרך בתה וכיו"ב שהוא חשש של מכשול אחרים, אין לנו רשות להתיר דבר שיש בו משום קלקול לרבים משום תקנת אשה זו, ולכן אין הדבר ברור אצלי להקל. והכלל שלהתיר איסור קל בשביל איסור חמור צריך להיות מתון הרבה, וכמו ברפואת הגוף שלפעמים מחליט הרופא לחתוך יד שיש בה חולי כדי שלא תמשך המחלה ליתר הגוף ויסתכן, ולפעמים מחליט להשאיר הדברים כמו שהם, והכל נעשה ביישוב הדעת עם רופאים אחרים, וכן הדין ברפואת הנפש שצריך להתיישב הרבה עם דעות תלמידי חכמים גדולי תורה כדי שלא לבא לידי חורבה ח"ו. ע"כ. ונראה שבנידון הכשרות וההשגחה בבתי מלון בזה"ז אין ספק כלל שבודאי צריך להמשיך ההשגחה והכשרות, שהרי הדבר מפורסם שתיירים רבים העולים מחו"ל מתאכסנים בבתי מלון אלה, ואין להם מקום אחר להארחה, כי בעונת התיירות מלאים בתי - המלון פה לפה, ואם נסלק ההשגחה והכשרות, עלול בעל המלון להכניס שם נבלו' וטרפו' בשר בחלב, וכו', ובאמת שרבים מהמבקרים בא"י תמימים שאינם מעלים על דעתם כלל שבא"י שהיא מטרופולין של מלך יוכל להיות בנמצא בית מלון שאינו כשר, עד שיצטרכו אפילו לבקש מבעל המלון להראותם תעודת כשרות מהרבנות המקומית, ואם נסיר את ההשגחה. נמצינו מכשילים אנשים רבים יראים ושלמים במאכלות אסורות על לא חמס בכפם. ובכה"ג דהוי כמצוה דרבים, להציל רבים מעון, לכ"ע אומרים לאדם חטוא כדי שיזכה חבירך. וכמ"ש התוס' שבת (ד), ובגיטין (מא:) סוף ד"ה כופין. ולא הוצרכתי לכל זה אלא לפי שראיתי לידי"נ הגרא"י ולדינברג בשו"ת ציץ אליעזר חלק י"א (סי' נה) שהעלה שיש להסיר ההשגחה מצד הרבנות ותעודת הכשרות על בית מלון כזה, והאריך בזה. ע"ש. ואני על משמרתי אעמודה. וליראת האריכות אסמוך בזה על המעיין ישר יחזו פנימו. ועכ"פ בנ"ד שמעיקר הדין יש מקום להתיר העוף, והמנהג שנהגו להחמיר, הוא חומרא בעלמא, יש להקל לשחוט העוף ע"י שוחט כשר, מאשר יבא בעל העוף לאכול נבלה וטרפה. הוספות ומילואים - בענין ההשגחה והפיקוח מאת הרבנות הראשית בא"י על בתי המלון, שכתבנו להעיר בזה ע"ד ידידנו הגרא"י ולדינברג בשו"ת ציץ אליעזר חלק יא (סי' נה) שמחמיר בדבר. והן עתה נדפס שו"ת ציץ אליעזר חלק יב, ושם (עמוד רכד), הדפיס מכתבי אליו בזה, וסיים שלדעתו נר"ו אין בזה די השב, והמעיינים ישר יחזו פנימו, ויוכיחו בין שנינו. ואני על משמרתי אעמודה.