First, there is a Tshuva in the Shoel UMaishiv 1st volume #185.
Two teenage boys say that a Rebbi acted incorrectly with them and therefore cannot continue to be a Rebbi. However, the incidents took place when they were under Bar Mitzvah and even though now, they are Bar Mitzvah, they are not Kosher witnesses. The Rebbi rejects all the claims.
He says that even though in other Teshuvas he wrote that you cannot Pasul a person unless there are two Kosher witnesses, which these are not, there is an exception accepted by the Poskim. Where the situation is as such that there are never Kosher witnesses, even non-Kosher witnesses are accepted. And since such actions are always with children the testimony of children can be accepted.
In addition, we are not coming to take anything away from him, just he cannot be a Rebbi till he accepts to do Teshuva.
And also, since one can accept Lashon HaRa to be careful to not transgress an Issur, and even accept witnesses, not in front of the defendant, it is permitted to accept their testimony and act upon it.
Then these are the sources to publicly condemn a Rasha.
You can publicize those who act like Tzadikim but are evil in their hidden life. This is a Gemarra in Yoma and see how the Ran explains it. It is brought in the Chofetz Chaim.
a. תלמוד בבלי מסכת יומא דף פו/ב – מפרסמין את החנפין מפני חילול השם שנאמר ובשוב צדיק מצדקו ועשה עול ונתתי מכשול לפניו
b. ר”ן על הרי”ף ביומא שם – מפרסמין את החנפין. שהם רשעים ומראין עצמן כצדיקים אם יש מכיר במעשיהן מצוה לפרסמן:
c. ספר חפץ חיים – הלכות אסורי לשון הרע – כלל ד – וְעוֹד אָמְרוּ, מְפַרְסְמִין אֶת הַחֲנֵפִים מִפְּנֵי חִלּוּל ה’, וְכָל שֶׁכֵּן (לא) אִם הוֹכִיחַ אוֹתוֹ בָּזֶה וְלֹא חָזַר, דְּמֻתָּר לְפַרְסְמוֹ וּלְגַלּוֹת עַל חֲטָאָיו בְּשַׁעַר בַּת רַבִּים וְלִשְׁפֹּךְ בּוּז עָלָיו, עַד שֶׁיַּחֲזֹר לְמוּטָב, וּכְמוֹ שֶׁכָּתַב הָרַמְבַּ”ם בְּסוֹף פֶּרֶק ו’ מֵהִלְכוֹת דֵּעוֹת (הֲלָכָה ח’), אַךְ יֵשׁ לִזָּהֵר שֶׁלֹּא לִשְׁכֹּחַ (לב) פְּרָטִים אֲחָדִים הַמִּצְטָרְכִים לָזֶה, וּכְתַבְתִּים בִּבְאֵר מַיִם חַיִּים:
Someone who does not listen to Bais Din can be publicized
a. שו”ע יו”ד סימן שלד – על כ”ד דברים מנדין את האדם, ואלו הן: (א) המבזה את החכם, אפילו לאחר מותו. (ב) המבזה שליח ב”ד. (ג) הקורא לחבירו עבד. (ד) המזלזל בדבר אחד מדברי סופרים, וא”צ לומר מדברי תורה. (ה) מי ששלחו לו ב”ד וקבעו לו זמן, ולא בא.
In general, a Rasha can be publicly castigated, so people do not act like him
a. ספר חפץ חיים – הלכות אסורי לשון הרע – כלל ד – עָשָֹה הַחוֹטֵא כַּמָּה פְּעָמִים בְּמֵזִיד אוֹ שֶׁעָבַר בְּמֵזִיד כַּמָּה פְּעָמִים עֲבֵרָה אַחַת הַמְפֻרְסֶמֶת לַכֹּל שֶׁהִיא עֲבֵרָה, אִם כֵּן מוּכָח מִנֵּהּ שֶׁלֹּא מֵחֲמַת שֶׁגָּבַר יִצְרוֹ עָלָיו עָבַר עַל דִּבְרֵי ה’ כִּי אִם בִּשְׁרִירוּת לִבּוֹ הוּא הוֹלֵךְ, וְאֵין פַּחַד אֱלֹהִים לְנֶגֶד עֵינָיו, לָכֵן מֻתָּר לְהַכְלִימוֹ (ל) וּלְסַפֵּר בִּגְנוּתוֹ בֵּין בְּפָנָיו וּבֵין שֶׁלֹּא בְּפָנָיו. וְאִם הוּא יַעֲשֶֹה מַעֲשֶֹה אוֹ יְדַבֵּר דָּבָר, וְיֵשׁ לְשָׁפְטוֹ לְצַד הַזְּכוּת וּלְצַד הַחוֹב, צָרִיךְ לְשָׁפְטוֹ לְצַד הַחוֹב, אַחֲרֵי שֶׁנִּתְחַזֵּק לְרָשָׁע גָּמוּר בִּשְׁאָר עִנְיָנָיו, וְכֵן אָמְרוּ רַבּוֹתֵינוּ “לֹא תוֹנוּ אִישׁ אֶת עֲמִיתוֹ”, עַם שֶׁאִתְּךָ בְּתוֹרָה וּבְמִצְוֹת, אַל תּוֹנֵהוּ בִּדְבָרִים, וַאֲשֶׁר לֹא שָׁת לִבּוֹ לִדְבַר ה’, מֻתָּר לְהַכְלִימוֹ בְּמַעֲלָלָיו וּלְהוֹדִיעַ תּוֹעֲבוֹתָיו וְלִשְׁפֹּךְ בּוּז עָלָיו
a. תלמוד בבלי מסכת יומא דף פו/ב – מפרסמין את החנפין מפני חילול השם שנאמר ובשוב צדיק מצדקו ועשה עול ונתתי מכשול לפניו
b. ר”ן על הרי”ף ביומא שם – מפרסמין את החנפין. שהם רשעים ומראין עצמן כצדיקים אם יש מכיר במעשיהן מצוה לפרסמן:
c. ספר חפץ חיים – הלכות אסורי לשון הרע – כלל ד – וְעוֹד אָמְרוּ, מְפַרְסְמִין אֶת הַחֲנֵפִים מִפְּנֵי חִלּוּל ה’, וְכָל שֶׁכֵּן (לא) אִם הוֹכִיחַ אוֹתוֹ בָּזֶה וְלֹא חָזַר, דְּמֻתָּר לְפַרְסְמוֹ וּלְגַלּוֹת עַל חֲטָאָיו בְּשַׁעַר בַּת רַבִּים וְלִשְׁפֹּךְ בּוּז עָלָיו, עַד שֶׁיַּחֲזֹר לְמוּטָב, וּכְמוֹ שֶׁכָּתַב הָרַמְבַּ”ם בְּסוֹף פֶּרֶק ו’ מֵהִלְכוֹת דֵּעוֹת (הֲלָכָה ח’), אַךְ יֵשׁ לִזָּהֵר שֶׁלֹּא לִשְׁכֹּחַ (לב) פְּרָטִים אֲחָדִים הַמִּצְטָרְכִים לָזֶה, וּכְתַבְתִּים בִּבְאֵר מַיִם חַיִּים:
Someone who does not listen to Bais Din can be publicized
a. שו”ע יו”ד סימן שלד – על כ”ד דברים מנדין את האדם, ואלו הן: (א) המבזה את החכם, אפילו לאחר מותו. (ב) המבזה שליח ב”ד. (ג) הקורא לחבירו עבד. (ד) המזלזל בדבר אחד מדברי סופרים, וא”צ לומר מדברי תורה. (ה) מי ששלחו לו ב”ד וקבעו לו זמן, ולא בא.
In general, a Rasha can be publicly castigated, so people do not act like him
a. ספר חפץ חיים – הלכות אסורי לשון הרע – כלל ד – עָשָֹה הַחוֹטֵא כַּמָּה פְּעָמִים בְּמֵזִיד אוֹ שֶׁעָבַר בְּמֵזִיד כַּמָּה פְּעָמִים עֲבֵרָה אַחַת הַמְפֻרְסֶמֶת לַכֹּל שֶׁהִיא עֲבֵרָה, אִם כֵּן מוּכָח מִנֵּהּ שֶׁלֹּא מֵחֲמַת שֶׁגָּבַר יִצְרוֹ עָלָיו עָבַר עַל דִּבְרֵי ה’ כִּי אִם בִּשְׁרִירוּת לִבּוֹ הוּא הוֹלֵךְ, וְאֵין פַּחַד אֱלֹהִים לְנֶגֶד עֵינָיו, לָכֵן מֻתָּר לְהַכְלִימוֹ (ל) וּלְסַפֵּר בִּגְנוּתוֹ בֵּין בְּפָנָיו וּבֵין שֶׁלֹּא בְּפָנָיו. וְאִם הוּא יַעֲשֶֹה מַעֲשֶֹה אוֹ יְדַבֵּר דָּבָר, וְיֵשׁ לְשָׁפְטוֹ לְצַד הַזְּכוּת וּלְצַד הַחוֹב, צָרִיךְ לְשָׁפְטוֹ לְצַד הַחוֹב, אַחֲרֵי שֶׁנִּתְחַזֵּק לְרָשָׁע גָּמוּר בִּשְׁאָר עִנְיָנָיו, וְכֵן אָמְרוּ רַבּוֹתֵינוּ “לֹא תוֹנוּ אִישׁ אֶת עֲמִיתוֹ”, עַם שֶׁאִתְּךָ בְּתוֹרָה וּבְמִצְוֹת, אַל תּוֹנֵהוּ בִּדְבָרִים, וַאֲשֶׁר לֹא שָׁת לִבּוֹ לִדְבַר ה’, מֻתָּר לְהַכְלִימוֹ בְּמַעֲלָלָיו וּלְהוֹדִיעַ תּוֹעֲבוֹתָיו וְלִשְׁפֹּךְ בּוּז עָלָיו